Предположим, что мы остановили свой выбор на модели твердых сферических шариков, потребовав, чтобы при столкновении частиц шарики просто идеально упруго отражались. Иначе говоря, они должны разлетаться после столкновения без какой бы то ни было потери энергии (или полного количества движения (импульса)), как если бы они были идеальными бильярдными шарами. Нам необходимо также точно задать, какие силы должны действовать между шариками. Для простоты мы можем положить, что сила, с которой один шарик действует на любой другой, направлена по прямой, соединяющей центры шариков, а величина силы определяется длиной отрезка между центрами шариков. (Для ньютоновской гравитации это предположение выполняется автоматически в силу замечательной теоремы, доказанной Ньютоном; а для других видов сил оно может быть наложено в качестве дополнительного требования.) Если шарики сталкиваются только попарно, а тройные столкновения, как и столкновения более высокого порядка, не происходят, то все вполне определено, и исход столкновения непрерывно зависит от начального состояния (т. е. достаточно малые изменения в начальном состоянии приводят лишь к малым изменениям в конечном). Скользящие столкновения рассматриваются как предельный случай прохождения шариков в непосредственной близости друг от друга. Проблема возникает при рассмотрении тройных столкновений и столкновений более высоких порядков. Например, если происходит одновременное столкновение трех шариков А, В и С, то вся картина значительно меняется в зависимости от того, какое из попарных соударений мы рассматриваем сначала: шарика А с шариком В, а сразу же после этого — С с В; или же мы считаем, что сначала сталкиваются шарики А и С, а затем шарик В сталкивается с шариком А (рис. 5.8).

В нашей модели существует индетерминизм, когда происходит тройное столкновение! Если угодно, то мы можем просто исключить тройные столкновения и столкновения более высокого порядка как «в высшей степени (бесконечно) невероятные». Это дает вполне непротиворечивую схему, но потенциальная проблема тройных столкновений означает, что результирующее поведение частиц может не зависеть непрерывным образом от начального состояния.

Поскольку такое положение дел нас не совсем удовлетворяет, то мы можем отдать предпочтение картине точечных частиц. Но для того, чтобы избежать некоторых теоретических трудностей, возникающих в рамках этого подхода (бесконечные силц и бесконечные энергии при столкновении частиц), необходимо сделать дополнительные предположения, в частности о том, что на коротких расстояниях силы, действующие между частицами, всегда становятся отталкивающими. Тогда мы можем обеспечить невозможность столкновения любой пары частиц. (Оно также помогает нам избежать проблемы определения поведения частиц при столкновении!) Но для большей наглядности я все-таки буду рассматривать модель твердых сферических шариков, ибо, как мне кажется, подобная «бильярдная» картина для большинства из нас подсознательно как раз и является рабочей моделью реальности!

Подчеркнем (игнорируя проблему столкновения нескольких шариков), что ньютонианская [109] бильярдная картина реальности в действительности является детерминистской моделью. Слово «детерминистская» надлежит понимать в том смысле, что физическое поведение системы с математической точки зрения полностью определено во все моменты времени в будущем (или в прошлом) положениями и скоростями шариков (во избежание некоторых проблем предположим, что число шариков конечно) в какой-то один момент времени. Таким образом, создается впечатление, будто в таком бильярдном мире нет места для разума, который своей «свободной волей» мог бы влиять на поведение материальных объектов. Если мы верим в «свободу воли», то, по-видимому, вынуждены будем усомниться в возможности описания нашего реального мира в рамках бильярдной модели.

Мучительный вопрос о «свободе воли» проходит через всю эту книгу — хотя при обсуждении большинства затронутых в ней тем он остается на заднем плане. В этой главе ему предстоит сыграть определенную, но небольшую роль (связанную с проблемой передачи сигналов со сверхсветовой скоростью в теории относительности). Вопросом о свободе воли мы займемся непосредственно в главе 10, и читатель несомненно будет разочарован моим вкладом в эту проблему. Я действительно считаю, что вопрос о свободе воле представляет собой реальную, а не вымышленную проблему — но она в высшей степени нетривиальна и ее трудно сформулировать адекватно. Вопрос о детерминизме в физической теории, безусловно, важен, однако я убежден, что он не является камнем преткновения. Например, мир может быть детерминистским, но невычислимым. Иначе говоря, будущее может определяться прошлым, но точно рассчитать его при этом будет в принципе невозможно. В главе 10 я попытаюсь изложить аргументы, показывающие, что действие нашего наделенного сознанием разума неалгоритмично (т. е. невычислимо). Соответственно, свобода воли, которой мы наделены (по нашему глубокому убеждению), должна быть тесно связана с какой-то невычислимой составляющей законов, управляющих тем миром, в котором мы живем. Независимо от того, принимаем ли мы или отвергаем такую точку зрения на свободу воли, интерес для нас представляет вопрос именно о вычислимости данной физической теории (например, ньютоновской динамики), а не о том, является ли она детерминистской. Вопрос о вычислимости отличен от вопроса о детерминизме. Утверждение о том, что это — два совершенно разных вопроса, как раз и служит одним из основных тезисов в данной книге.

Вычислима ли жизнь в бильярдном мире?

Позвольте мне сначала показать на умышленно абсурдном искусственном примере, что вычислимость и детерминизм — понятия различные. Для этого я продемонстрирую «игрушечную модель вселенной», которая детерминистична, но не вычислима. Пусть «состояние» этой вселенной в любой «момент времени» описывается как пара натуральных чисел (m, n). Пусть Т_u — фиксированная универсальная машина Тьюринга, например, та, которая описана в главе 2 («Универсальная машина Тьюринга»). Чтобы решить, какое состояние этой вселенной наступит в следующий «момент времени», нам необходимо спросить, остановится ли действие машины Тьюринга Т_u на m или не остановится (в обозначениях главы 2, «Неразрешимость проблемы Гилберта» Т_u(m) ≠ □ или Т_и(m) = □). Если машина Тьюринга Т_и останавливается, то состояние в следующий момент времени есть (m + 1, n). Если же машина Тьюринга не останавливается, то состояние в следующий момент времени должно быть (n+1, m). В главе 2 было показано, что не существует алгоритма для решения проблемы остановки машины Тьюринга. Следовательно, не может быть алгоритма предсказания «будущего» в рассматриваемой модели вселенной, несмотря на то, что эта модель вполне детерминистична [110] .

Разумеется, описанную выше модель не следует принимать всерьез, но она показывает, что вопрос все же существует и на него необходимо найти ответ. Относительно любой детерминистской физической теории мы сможем спросить, вычислима она или нет. Действительно, вычислим ли ньютонианский бильярдный мир?